Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 8 см і утворює кут 30° з твірною циліндра. Знайдіть площу осьового перерізу.

Ответ:

Нам потрібно знайти площу осьового перерізу циліндра за допомогою діагоналі і кута. Позначимо діагональ як D і радіус циліндра як r.

За теоремою Піфагора, можемо знайти висоту осьового перерізу:

h = √(D²/4 - r²)

Також нам дано, що кут між діагоналлю і твірною дорівнює 30°. Це означає, що ми можемо використати трикутник з висотою і половиною діагоналі для знаходження радіуса циліндра:

tan(30°) = h/(D/2 - r)

√3/3 = √(D²/4 - r²)/(D/2 - r)

√3(D/2 - r) = √(D²/4 - r²)

3(D/2 - r)² = D²/4 - r²

3D²/4 - 3Dr + 3r² = D²/4 - r²

2r² - 3Dr + D²/4 = 0

З цього рівняння можна отримати значення r:

r = (3D ± √(9D² - 8D²/2))/4

r = (3D ± D√7)/4

Оскільки радіус не може бути більше за половину діагоналі, ми беремо менше значення з двох:

r = (3D - D√7)/4

Тепер, коли ми знаємо радіус, ми можемо знайти висоту за формулою, яку ми використали раніше:

h = √(D²/4 - r²)

Замінюючи знайдене значення r, отримуємо:

h = √(D²/4 - ((3D - D√7)/4)²)

h = √(D²/4 - (9D²/16 - 3D²√7/8 + 7D²/16)/16)

h = √(D²/4 - (9D² - 6D²√7 + 7D²)/256)

h = √(D²/4 - (2D² + 6D²√7)/256)

h = √(64D²/256 - (2D² + 6D²√7)/256)

h = √((64D² - 2D² - 6D²√7)/256)

h = √((62D² - 6D²√7)/256)

h = √(31D²/128 - 3D²√7/128)

Тепер ми можемо знайти площу осьового перерізу за формулою:

S = πr² + πh²

S = π((3D - D√7)/4)² + π(31D²/128 - 3D²√7/128)²

S = π(9D²/16 - 3D²√7/4 + 7D²/16) + π(961D⁴/16384 - 62D²√7/256 + 9D⁴/2048 - 31D²√7/256 + 9D⁴/16384)

S = π(16D²(1 + √7)/16) + π(40D⁴/2048 - 93D²√7/256 + 10D⁴/2048)

S = πD²(1 + √7) + πD⁴(50/2048 - 93/256√7 + 10/2048)

S = πD²(1 + √7) + πD⁴(25/1024 - 93/128√7 + 5/1024)

Тому площа осьового перерізу циліндра дорівнює:

S = πD²(1 + √7) + πD⁴(25/1024 - 93/128√7 + 5/1024) ≈ 74.25 см².