Исследовать на выпуклость (вогнутость), точки перегиба.

Исследуем функцию на выпуклость в интервале x∈(2; +∞), так как знаменатель дроби x-2 при x<2 обращается в 0, а на область определения функции накладывается ограничение.

Сначала найдём точки, в которых производная функции равна 0 или не существует. Для этого найдём первую производную функции:

y’ = (4x(x - 3))/((x - 2)^2)

Теперь решим уравнение y’ = 0:

4x(x - 3) = 0

x1 = 0, x2 = 3

Таким образом, производная не существует в точке x = 2, а меняет знак в точке x = 3.

Теперь найдём вторую производную:

y’’ = ((16x - 12)(x - 2) - 8x(x - 3)^2)/((x - 2)^4)

и решим уравнение y’’ = 0:

(16x - 12)(x - 2) - 8x(x^2 - 6x + 9) = 0

Разложим на множители и решим квадратное уравнение:

8x^2 - 48x + 16 - 8x^3 + 48x^2 - 72x = 0

-8x^3 + 56x^2 - 92x + 16 = 0 | *(-1/8)

x^3 - 6.5x^2 + 11.5x - 2 = 0

x1 ≈ 1.76, x2 ≈ 1.18, x3 ≈ 1.08

Итак, вторая производная меняет знак при переходе через точки x1 ≈ 1.76 и x2 ≈ 1.18.

Таким образом, мы имеем три точки x=2, x≈1.18 и x≈1.76. Функция выпукла вниз на интервале (2; 1.18) и выпукла вверх на интервале (1.18; 1.76). В точке x≈1.08 функция имеет перегиб.