(2x^3)/(x^2-4) Дослідити функцію на зростання, спадання функції, знайти екстремуми функції.

Ответ:

Давайте дослідимо функцію f(x) = (2x^3)/(x^2-4) на зростання, спадання та знайдемо екстремуми.

1. Дослідження на зростання/спадання функції:

Почнемо з області визначення функції. Функція визначена для всіх x, для яких x^2-4 не дорівнює 0. Оскільки (x^2-4) = (x+2)(x-2), функція не визначена при x = 2 або x = -2.

Тепер знайдемо похідну f'(x) за допомогою правила диференціювання частки та правила диференціювання степеневої функції:

f(x) = (2x^3)/(x^2-4)

f'(x) = [ (2*3x^2(x^2-4) - 2x^3*2x) ] / (x^2-4)^2

f'(x) = [ 6x^2(x^2-4) - 4x^4) ] / (x^2-4)^2

f'(x) = [ 6x^4 - 24x^2 - 4x^4] / (x^2-4)^2

f'(x) = [ 2x^4 - 24x^2 ] / (x^2-4)^2

f'(x) = 2x^2(x^2 - 12) / (x^2-4)^2

Тепер знайдемо точки перегину і екстремуми за допомогою другої похідної.

2. Точки перегину функції:

Знайдемо другу похідну f''(x) функції:

f''(x) = (12x^2 - 24) / (x^2-4)^3

Тепер знайдемо точки перегину, рівняння які: f''(x) = 0.

12x^2 - 24 = 0

12x^2 = 24

x^2 = 24/12

x^2 = 2

x = ±√2

Отже, точки перегину рівні x = √2 та x = -√2.

3. Екстремуми функціў

Для пошуку екстремумів використаємо похідну f'(x). Шукаємо значення x, де похідну дорівнює нулю або не існуючій:

2x^2(x^2 - 12) / (x^2-4)^2 = 0

Це дає нам дві можливі точки екстремуму: x = 0, x = ±√12