Дан квадрат ABCD. На его сторонах AB и AD и диагонали BD построены равносторонние треугольники ABE, ADF и BDG. При этом точка E лежит вне квадрата, точка F внутри квадрата, G и C расположены в разных полуплоскостях относительно BD. Докажите , что FD и EG параллельны и прямы.

Ответ:

Для доказательства того, что FD и EG параллельны и прямы, давайте рассмотрим ряд утверждений:

Поскольку треугольник ABE равносторонний, то угол BAE равен 60 градусам.

Также, так как BDG - равносторонний треугольник, угол ABD равен 60 градусам.

Поскольку угол ABD равен углу BAE, то треугольники ABE и ABD подобны.

Из подобия треугольников ABE и ABD следует, что угол EAB равен углу DBA.

Так как угол DBA равен 60 градусам, то и угол EAB равен 60 градусам.

Треугольник ADF - равносторонний, поэтому угол DAF также равен 60 градусам.

Угол EAF является внутренним углом смежным к углам EAB и DAF в многоугольнике ADEF. Итак, угол EAF равен сумме углов EAB и DAF, то есть 60 + 60 = 120 градусов.

Теперь рассмотрим четырехугольник ADEG. Углы AED и AEG являются внутренними углами смежными к углу EAF, поэтому они в сумме также равны 120 градусам.

Поскольку углы AED и AEG равны, то стороны DE и EG пропорциональны.

Из симметрии можно сказать, что стороны FD и EG равны, а следовательно, FD и EG параллельны.

Таким образом, FD и EG действительно параллельны и прямы.

Пошаговое объяснение: