Завдання на фото (матриці, границі, похідні, інтеграли)​

**Розв'язання**

**1. Розв'яжіть систему рівнянь матричним методом**

Система рівнянь може бути записана у матричному вигляді:

```

[A|B] * x = [C]

```

де

```

A =

[1 -1 4

3 -1 5

2 2 1]

```

```

B =

[3

-2

4]

```

```

C =

[1

2

-3]

```

Для вирішення цієї системи необхідно знайти обернену матрицю A.

```

A-1 =

[5/3 -2/3 -4/3

-1/3 2/3 1/3

-2/3 1/3 1/3]

```

Тоді рішення системи рівнянь можна знайти за формулою:

```

x = A-1 * B

```

```

x =

[5/3 -2/3 -4/3

-1/3 2/3 1/3

-2/3 1/3 1/3] *

[3

-2

4]

```

```

x =

[1

2

-3]

```

Отже, рішення системи рівнянь є:

```

x = [1, 2, -3]

```

**2. Знайдіть границю, не користуючись правилом Лопіталя**

```

lim

x→0

5+3x/4x-3

```

Оскільки при x→0 знаменник 4x-3→0, то границю можна знайти, розрахувавши ліміт відношенням чисел, що дорівнюють значенням функції при x→0 і x→0+:

```

lim

x→0

5+3x/4x-3 =

[5+3(0)]/[4(0)-3] =

[5]/[-3] =

-5/3

```

Отже, границя дорівнює **-5/3**.

**3. Знайдіть похідну**

```

y = In(5x+z)

```

Похідна функції In(x) дорівнює 1/x. Отже, похідна заданої функції дорівнює:

```

dy/dx =

d/dx

[In(5x+z)]

=

1/(5x+z)

```

**4. Знайдіть інтеграл**

```

I =

∫

4x²+1

(x-3)(x+4)

dx

```

Для вирішення цього інтегралу можна скористатися методом розкладу на множники:

```

(x-3)(x+4) = x²-x-12

```

Тоді інтеграл можна записати у вигляді:

```

I =

∫

4x²+1

x²-x-12

dx

=

∫

4x²+1

x²

dx

-

∫

4x²+1

x

dx

-

∫

4x²+1

-12

dx

```

Перші два інтеграли можна знайти за формулою Ньютона-Лейбніца:

```

∫

xⁿ

dx

=

xⁿ+1/ⁿ+1

```

Тоді інтеграл можна записати у вигляді:

```

I =

[4x³/3

-2x²/2

-4x²/2

+12x]

+ C

=

8x³/3

-4x²

+12x

+ C

```

де C - постійна інтегрування.

Отже, значення інтегралу дорівнює:

```

I =

8x³/3

-4x²

+12x

+ C

```