правильной треугольной пирамиде SABC взята точка D на середине SB, точка E - на SA и F - на SC так, что AE : ES = 1 : 3 и CF: FS = 1:3. Прямые DE и DF пересекают плоскость основания в точках К и L; AB = 16. Определите расстояние между точками K и L

Аналитическое решение данной задачи довольно громоздкое.

Предлагается решение с применением итерационного метода, отталкиваясь от заданной длины бокового ребра и задаваясь значениями длины стороны основания.

Дано:  - правильная пирамида SABC,

           - боковое ребро L = 2,

           - расстояние от точки С до прямой AD (это медиана боковой                        грани) = √(5/6) ≈  0,912871.

Этим данным соответствует  сторона основания   а = 1 и  угол наклона боковой грани к основанию α =   81,426895° =  1,421167 радиан.

Высота пирамиды Н = A*tg α =   1,914854.

Апофема А = √(L² - (a/2)²) = 1,936492.

Высота основания h = a√3/2 = 0,866025.

Периметр основания Р = 3a = 3.

Проекция апофемы на основание h/3 = 0,288675.

Площадь основания Sо = a²√3/4 = 0,433013.

Площадь боковой поверхности Sбок = (1/2)PA = 2,904738.

Площадь полной поверхности S =Sо + Sбок =  3,33775.

Объём пирамиды  V = (1/3) So*H =  0,276385.      

 Аналитическое решение.

Здесь основное - определить значение стороны основания пирамиды.

Примем сторону основания за "а", а боковое ребро " L".

Косинус угла при основании боковой грани равен: cos α = (a/2)/L = a/(2L).

Медиана АД боковой грани по теореме косинусов равна:

АД = √(a²+(L/2)²-2*a*(L/2)*cos α) = √(a²+(L²/4)-2a*(L/2)*(a/2L)) = √((2a²+L²)/2.

Рассмотрим треугольник АДС. Его высота ДЕ равна:

ДЕ = √(АД²-(а/2)²) = √((2a²-L²)/4)-(а²/4) = √(a²+L²)/2.

Высота h(АД) к стороне АД по заданию равна √(5/6).

Тогда а*ДЕ = h(АД)*АД или а*√(a²+L²)/2 = (√(5/6))*√((2a²+L²)/2.

Приведём к общему знаменателю и возведём обе части уравнения в квадрат.

6а²(а²+L²) = 10a² + 5L².

Заменим L² на 2² = 4.

6а⁴ + 24а² = 10а² + 20.

6а⁴ + 14а² - 20 = 0, или 3а⁴ + 7а² - 10 = 0.

Получили биквадратное уравнение. Заменим а² = t.

3t² + 7 t - 10 = 0.  D = 49 +120 = 169. t1 = (-7 + 13)/6 = 1, t2 = (-7-13)/6 = -20/6 отрицательный корень не принимаем.

Находим а = √1 = 1 см.

Остальное приведено выше.