Объясните, как посчиталась производная в 8 пункте из уравнения в 6 пункте?

Объясните, как посчиталась производная из уравнения в 6 пункте?

это не совсем производная. это общее представления корня. Вот хорошая статья на тему решений линейных дифур высших порядков: http://www.mathprofi.ru/differencialnye_uravnenija_vtorogo_poryadka.html