Випадкова величина X задана інтегральною функцією (функцією розподілу). Потрібно: а) знайти диференціальну функцію (густину ймовірності); б) знайти математичне сподівання і дисперсію; в) побудувати графіки інтегральної та диференційної функцій.

Ответ:

Пошаговое объяснение:а) Знаходження диференціальної функції (густини ймовірності)

Диференціальна функція (густина ймовірності) випадкової величини X визначається як похідна від її інтегральної функції розподілу:

f(x) = F'(x)

У нашому випадку інтегральна функція розподілу задана таким чином:

F(x) = 0 при x < 0

F(x) = x при 0 <= x <= 1

F(x) = 1 при x > 1

Похідна від цієї функції:

f(x) =

0 при x < 0

1 при 0 <= x <= 1

0 при x > 1

Таким чином, диференціальна функція (густина ймовірності) випадкової величини X має такий вигляд:

f(x) =

0 при x < 0

1 при 0 <= x <= 1

0 при x > 1

б) Знаходження математичного сподівання і дисперсії

Математичне сподівання випадкової величини X визначається як інтеграл від її густини ймовірності по всьому її можливому діапазону:

E(X) = ∫ f(x) * x dx

У нашому випадку:

E(X) = ∫ 1 * x dx

= x^2 / 2

= 1/2 при 0 <= x <= 1

Дисперсія випадкової величини X визначається як інтеграл від квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання по всьому її можливому діапазону:

D(X) = ∫ (x - E(X))^2 * f(x) dx

У нашому випадку:

D(X) = ∫ (x - 1/2)^2 * 1 dx

= x^4 / 12

= 1/12 при 0 <= x <= 1

Таким чином, математичне сподівання випадкової величини X становить 1/2, а дисперсія - 1/12.

в) Побудова графіків інтегральної та диференційної функцій

Графік інтегральної функції розподілу випадкової величини X:З графіків видно, що інтегральна функція розподілу випадкової величини X є неперервною, монотонно зростаючою від 0 до 1. Диференціальна функція (густина ймовірності) випадкової величини X є неперервною, рівною 1 на інтервалі від 0 до 1 і рівною 0 за межами цього інтервалу.