Разложить функцию y= f(x) в ряд Фурье на интервале f(x)=x+(x)/2 (-2;2)

Функция y= f(x) на интервале [-2, 2] задана как:

f(x) = x + x/2

Чтобы разложить эту функцию в ряд Фурье, необходимо найти коэффициенты амплитуды и фазы для каждой частоты в пределах дискретной спектральной площади [-π, π].

Первым шагом является вычисление периода функции:

T = 4

Затем, необходимо найти дискретные частоты в пределах дискретной спектральной площади:

ω_k = k * (2 * π) / T = k * (2 * π) / 4 = k * π / 2, где k - целое число.

Коэффициенты амплитуды и фаз для каждой частоты можно найти с помощью интегралов:

A_k = (1/T) * int_{-2}^{2} f(x) * cos(ω_k x) dx
B_k = (1/T) * int_{-2}^{2} f(x) * sin(ω_k x) dx

Для нашей функции y= f(x):

A_k = (1/4) * int_{-2}^{2} (x + x/2) * cos(k * π / 2 x) dx
B_k = (1/4) * int_{-2}^{2} (x + x/2) * sin(k * π / 2 x) dx

Вычисление этих интегралов может быть выполнено с помощью метода частичных интегралов или численным интегрированием. В результате, получаются коэффициенты амплитуды и фаз для каждой частоты:

A_0 = (1/4) * int_{-2}^{2} (x + x/2) dx = 0.5 (-2; 2) = -1
A_k = (1/4) * int_{-2}^{2} x * cos(k * π / 2 x) dx + (1/8) * int_{-2}^{2} cos(k * π / 2 x) dx = (-1)^k / k*π - (-1)^k / k*π, где k≠0. B_k = (1/4) * int_{-2}^{2} x * sin(k * π / 2 x) dx + (1/8) * int_{-2}^{2} sin(k * π / 2 x) dx = (-1)^k / k*π - (-1)^k / k*π, где k≠0. Получаем следующий результат:

y(x) = -1 + sum((-1)^k / k*π [cos(k*pi*x/2)-sin(k*pi*x/2)] + (-1)^k / k*π [sin(k*pi*x/2)+cos(k*pi*x/2)] ) from k=1 to infinity. Этот результат означает, что функция y= f(x), определенная на интервале [-2; 2], может быть представлена в виде суммы бесконечной последовательности синусоидальных и косинусоидальных функций с различными частотами и амплитудами.

Лучше не слушай дауна сверху)