Даны векторы а и б, выраженные через два других вектора(длины которых даны), а также угол между а и б, найти площадь пар

Давайте начнем с вычисления векторов \( a\; \) и \( b\; \) . Мы знаем, что \( |p\;| = 2 \) и \( |q\;| = 3 \) и угол между \( p\; \) и \( q\; \) равен \( \pi/6 \).

Прежде чем продолжить, обозначим векторы \( p\; \) и \( q\; \) как \( p\; = 2x\; \) и \( q\; = 3y\; \). Теперь можем выразить \( a\; \) и \( b\; \) в терминах \( x\; \) и \( y\; \). Заметим, что \( a\; \) и \( b\; \) представляются как линейные комбинации \( p\; \) и \( q\; \).

Теперь найдем вектор \( a\; \):
\( a\; = 3p - 2q\; = 3(2x) - 2(3y) = 6x - 6y\)

И вектор \( b\; \):
\( b\; = 2p - 3q\; = 2(2x) - 3(3y) = 4x - 9y\)

Следующим шагом будет вычисление векторного произведения \( a\; \) и \( b\; \), чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах \( a\; \) и \( b\; \). Формула для векторного произведения двух векторов \( u\; \) и \( v\; \) в 3D выглядит так:
[ u \times v = (uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx) \]

Применим эту формулу к векторам \( a\; \) и \( b\; \):
[ a\; \times b\; = (0, 0, (6x-6y)(4x-9y) - (6x-6y)(4x-9y)) = (0, 0, -6x^2 + 54xy - 24y^2) \]

Теперь, чтобы найти площадь параллелограмма, образованного векторами \( a\; \) и \( b\; \), мы можем использовать формулу модуля векторного произведения:
[ S = |a\; \times b\;| = \sqrt{(-6x^2 + 54xy - 24y^2)^2} \]
[ S = \sqrt{36x^4 - 648x^3y + 3240x^2y^2 - 2592xy^3 + 576y^4} \]

Таким образом, мы нашли площадь параллелограмма, образованного векторами \( a\; \) и \( b\; \), используя данную информацию о векторах \( p\; \) и \( q\; \).