Профмат Тестирование олимпиада

Чтобы число 123x4657y94 было делится на 99, оно должно быть кратно и 9, и 11.

Для проверки кратности 9, нужно просуммировать все его цифры и убедиться, что сумма делится на 9.

1 + 2 + 3 + x + 4 + 6 + 5 + 7 + y + 9 + 4 = 41 + x + y

Так как число должно быть кратно 9, то сумма всех его цифр также должна быть кратна 9.

41 + x + y ≡ 0 (mod 9)

Заметим, что 41 - 1 ≡ 4 (mod 9), поэтому выражение можно записать иначе:

4 + x + y ≡ 0 (mod 9)

Так как модульная арифметика сохраняет свойство сложения, мы можем уравнение представить следующим образом:

x + y ≡ 5 (mod 9) (1)

Вернемся к разложению числа на множители.

Чтобы число было кратно 11, разность суммы цифр на нечетных позициях и суммы цифр на четных позициях должна быть кратна 11.

(1 + 3 + 4 + 6 + 7 + 9) - (2x + 4 + 5 + y) = 30 - (2x + y) ≡ 0 (mod 11)

30 - (2x + y) ≡ 0 (mod 11)

Теперь решим уравнение:

2x + y ≡ 30 (mod 11) (2)

Теперь у нас есть два уравнения (1) и (2), которые можно решить методом подстановки или методом перебора.

Подставив y из уравнения (1) в уравнение (2), получим:

2x + (5 - x) ≡ 30 (mod 11)

-x + 5 ≡ 30 (mod 11)

-x ≡ 25 (mod 11)

-x ≡ 3 (mod 11)

x ≡ -3 (mod 11)

Решений этого уравнения может быть несколько, так как число x может быть как положительным, так и отрицательным. Однако, по условию задачи x это одна цифра.

Подставим x = 8 в уравнение (1):

8 + y ≡ 5 (mod 9)

y ≡ -3 ≡ 6 (mod 9)

Теперь для проверки подходит ли полученное значение y:

41 + 8 + 6 ≡ 55 (mod 9)

55 ≡ 1 + 2 + 3 + 8 + 4 + 6 + 5 + 7 + 6 + 9 + 4 (mod 9)

55 ≡ 55 (mod 9)

Так как оба числа дают одинаковый остаток при делении на 9, полученное значение y = 6 верное.

Итак, получаем, что x = 8 и y = 6.

Искомое значение x^2 + y^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100.