Как вычислить неопределенный интеграл? Интеграл 1+cos^2(x) / 1 + cos(2x)

Трахни учителя

Математека кака, учес варават брад

Для того чтобы вычислить неопределенный интеграл, представим числитель дроби как сумму квадратов синуса и косинуса, используя тригонометрическое тождество 1 + cos^2 x = sin^2 x + cos^2 x.

∫(1 + cos²x)dx/(1 + cos 2x) = ∫(sin²x + cos²x)dx / (1 + (cos x)^2 - sin²x)

Теперь используем замену переменных, обозначив cos x = t. Тогда dx = -dt/√(1 - t²). Знаменатель дроби преобразуется следующим образом:

1 + cos2x = 1 + 2cos²x - 1 = 2cos²x

∫((sin x)² + (cos x)²)dx / (2(cos x)² - (sin x)²)

-∫ (1 - t²) dt / (2t² - (1 - t²))

После упрощения получаем:

∫ dt / (t² + 1)

Остается взять интеграл от функ Для этого представим дробь как сумму двух дробей с разными знаменателями:

√2/2 * arctg(t/√2) + C, где C – произвольная постоянная.

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем окончательный ответ:

-√2/2 arctg (cos x / √2) + Cции 1/(t^2 + 1).

.