Фірма планує випускати пластикові вікна. Дослідним шляхом установлена залежність попиту д від ціни р за вікно: 9 - 2500 - 100 р, де д - кількість вікон. Витрати фірми на випуск у вікон становлять C =100 + 13g + 0,002 g*. Визначити максимальний прибуток.

Для визначення максимального прибутку потрібно знайти кількість вікон, при якій доходи (виручка) будуть максимальними, а витрати будуть мінімальними.Доходи (виручка) обчислюються як добуток ціни на кількість вікон: \(D = p \cdot d\), де \(p\) - ціна вікна, \(d\) - кількість вікон.Вираз для доходів буде:\[ D = 100 \cdot d - 0,002 \cdot d^2 \]Витрати обчислюються за заданою формулою: \(C = 100 + 13d + 0,002d^2\).Прибуток обчислюється як різниця доходів і витрат: \(P = D - C\).Підставимо вирази для доходів та витрат у вираз для прибутку:\[ P = (100 \cdot d - 0,002 \cdot d^2) - (100 + 13d + 0,002d^2) \]Зробимо диференціювання по \(d\), прирівняємо до нуля для пошуку екстремуму:\[ \frac{dP}{dd} = 100 - 0,004d - 13 - 0,004d = 0 \]\[ -0,008d = -113 \]\[ d = \frac{113}{0,008} \approx 14125 \]Отже, максимальний прибуток досягається приблизно при \(d \approx 14125\) вікнах. Також можна перевірити, що це є точка максимуму, обчисливши другу похідну та перевіривши її знак.