Как решить неопределенный интеграл d(1+lnx)/cos^2(1+lnx)

Чтобы решить неопределенный интеграл

∫(1+lnx)/cos^2(1+lnx) dx,

можно воспользоваться заменой переменной. Проведем следующую замену:

u = 1 + ln(x),

тогда
du = (1/x) dx.

Также, заметим, что

cos^2(u) = 1/cos^2(u),

или

1/cos^2(u) = sec^2(u).

Итак, наш интеграл принимает вид:

∫(1+lnx)/cos^2(1+lnx) dx = ∫du/sec^2(u).

Используя известный факт, что интеграл sec^2(u) du равен tan(u) + C, где С - произвольная постоянная, мы можем найти интеграл для нашего выражения:

= tan(u) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь, заменив обратно u на 1+lnx, мы получаем окончательный ответ:

= tan(1+lnx) + C,

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, неопределенный интеграл для заданной функции равен tan(1+lnx) + C.