Канышай раскрашивает шахматную доску (сторона состоит из 8 клеток, всего на доске 64 клетки) так, чтобы у каждой клетки были по крайней мере две соседние клетки одного с ней цвета (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). Какое максимальное количество иветов она сможет использовать?

Ответ:

Для решения этой задачи нужно заметить, что каждая клетка на шахматной доске имеет ровно 4 соседние клетки (если она не находится на границе доски) и 3 соседние клетки (если она находится на границе). Каждая клетка должна иметь по крайней мере две соседние клетки того же цвета.

Предположим, что у нас есть 4 цвета, которые мы будем использовать. Тогда возможные варианты распределения цветов будут следующими:

1. Клетки на границах будут иметь 3 соседа, поэтому им нужно только два цвета.

2. Клетки внутри доски будут иметь 4 соседа, так что им нужно три цвета.

Таким образом, общее количество цветов, необходимых для покраски всех клеток на шахматной доске, будет равно:

\[ 2 \times (4 \times 4) + 3 \times (6 \times 6) = 32 + 108 = 140 \]

Таким образом, Канышай сможет использовать максимально 4 цвета для покраски шахматной доски.