Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює d і утворює з площиною бічної грані кут b . Знайдіть об’єм призми

У правильній чотирикутній призмі діагональ d є діаметром основи, тобто вона є стороною квадрата основи призми. Також, якщо ми спроектуємо цю діагональ на бічну грань, ми отримаємо прямий кут. Тому, знаючи це, можемо визначити співвідношення між d, S та b.

Довжина діагоналі d і сторона основи a зв'язані наступним чином:

a = (d)/(√2)

Площа бічної грані S прямильно пропорційна до квадрата сторони основи:

S = a^2 = ( (d)/(√2))^2 = (d^2)/2

Знаючи, що діагональ утворює кут b з площиною бічної грані, ми можемо взяти косинус цього кута для розрахунку:

cos b = (d)/(√(d^2 + 4a^2)) = (d)/(√(d^2 + 2d^2)) = (d)/(√(3d^2)) = 1/(√3)

Тепер, об'єм призми V можна обчислити за формулою:

V = 1/3· S · d ·cos b = 1/3·(d^2)/2· d ·1/(√3) = (d^3)/(2 √3)

Таким чином, об'єм призми дорівнює (d^3)/(2 √3).