Решите с рисунками и решением пожалуйста осталось 20 мин

Конечно, вот решения задач с изображения:

1. В параллелограмме ABCD точка E ∈ AC, AE : EC = 1 : 5. Разложите вектор CE по векторам a = AD и b = CD.

• Поскольку AE : EC = 1 : 5, то AC = AE + EC = AE + 5AE = 6AE. Следовательно, AE = (1/6)AC и EC = (5/6)AC.

• Вектор AC = AD + DC = a + (-b) = a - b.

• Следовательно, CE = (5/6)AC = (5/6)(a - b) = (5/6)a - (5/6)b.

• Ответ: CE = (5/6)a - (5/6)b

2. Найдите косинус угла между векторами m = 2a - 3b, n = a + 2b, если |a| = 2, |b| = √3 и угол между векторами a и b равен 30°.

• cos(m, n) = (m × n) / (|m| × |n|)

• m × n = (2a - 3b) × (a + 2b) = 2a^2 + 4a × b - 3a × b - 6b^2 = 2|a|^2 + a × b - 6|b|^2

• a × b = |a| × |b| × cos(30°) = 2 × √3 × (√3 / 2) = 3

• m × n = 2 × 2^2 + 3 - 6 × (√3)^2 = 8 + 3 - 18 = -7

• |m|^2 = (2a - 3b)^2 = 4a^2 - 12a × b + 9b^2 = 4 × 4 - 12 × 3 + 9 × 3 = 16 - 36 + 27 = 7 => |m| = √7

• |n|^2 = (a + 2b)^2 = a^2 + 4a × b + 4b^2 = 4 + 4 × 3 + 4 × 3 = 4 + 12 + 12 = 28 => |n| = √28 = 2√7

• cos(m, n) = -7 / (√7 × 2√7) = -7 / (2 × 7) = -1/2

• Ответ: -1/2

3. Около круга радиуса R описан правильный шестиугольник. Найдите разность между площадью шестиугольника и круга.

• Сторона правильного шестиугольника, описанного около круга радиуса R, равна 2R/√3.

• Площадь шестиугольника: S_шест = (3√3 / 2) × (2R/√3)^2 = (3√3 / 2) × (4R^2 / 3) = 2√3 R^2

• Площадь круга: S_круг = πR^2

• Разность: S_шест - S_круг = 2√3 R^2 - πR^2 = R^2 (2√3 - π)

• Ответ: R^2 (2√3 - π)

4. Напишите уравнение окружности, симметричной относительно точки A(-1; 3) окружности, заданной уравнением x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0.

• Перепишем уравнение в каноническом виде: (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 13. Центр данной окружности O(2, -3), радиус r = √13.

• Центр симметричной окружности O' будет симметричен точке O относительно точки A. Пусть координаты O'(x', y').

• Тогда A - середина отрезка OO', т.е. (-1, 3) = ((2 + x')/2, (-3 + y')/2).

• Отсюда: -1 = (2 + x')/2 => x' = -4. 3 = (-3 + y')/2 => y' = 9. Таким образом, O'(-4, 9).

• Уравнение симметричной окружности: (x + 4)^2 + (y - 9)^2 = 13.

• Ответ: (x + 4)^2 + (y - 9)^2 = 13

5. Первая окружность радиуса 4 см касается трех сторон прямоугольника. Вторая окружность касается первой внешним образом, а также касается сторон прямого угла. Найдите максимальный радиус второй окружности, если стороны прямоугольника равны 8 см и 12 см.

• Центр первой окружности находится на расстоянии 4 см от двух сторон прямоугольника. Поскольку прямоугольник 8x12, то центр первой окружности может находиться в точках (4,4) или (4,8) или (8,4).

• Пусть радиус второй окружности r. Тогда ее центр находится в точке (r,r).

• Рассмотрим расстояние между центрами окружностей. Оно равно сумме их радиусов, т.е. 4+r.

• В зависимости от положения первой окружности, получим разные уравнения для r. Поскольку нужно найти максимальный радиус, рассмотрим наиболее выгодное положение: (4,4).

• Тогда (4-r)^2 + (4-r)^2 = (4+r)^2

• 2(4-r)^2 = (4+r)^2

• √2 (4 - r) = 4 + r

• 4√2 - r√2 = 4 + r

• 4√2 - 4 = r + r√2

• 4(√2 - 1) = r(1 + √2)

• r = 4(√2 - 1) / (1 + √2) = 4 (√2 - 1)^2 = 4 (2 - 2√2 + 1) = 4 (3 - 2√2) = 12 - 8√2 ≈ 0.686

• Ответ: 12 - 8√2

Надеюсь, это поможет!