Верно ли утверждение?
1) Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то этот четырехугольник - ромб.

2) Центр окружности, описанной вокруг треугольника, не может лежать на его стороне.

3) Треугольник со сторонами корень а, корень b и корень а+b  - всегда прямоугольный.

4) Существует треугольник, в котором любая из высот меньше любой из медиан.

1) Неверно. Это может быть дельтоид. Ещё может быть трапеция с перпендикулярными диагоналями. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб, но в условии дан произвольный четырёхугольник, а не параллелограмм. 

2) Неверно. Центр описанной около прямоугольного треугольника лежит на гипотенузе. Так что центр описанной около треугольника окружности может лежать на стороне треугольника.

3) Верно. 

Дан треугольник со сторонами: √a, √b, √(a + b).

Проверим по теореме, обратной к теореме Пифагора.

Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой  треугольник прямоугольный:

(√(a + b))² =  (√a)² + (√b)²

a + b = a + b. Верно.

Теорема обратная теореме Пифагора выполняется, следовательно, треугольник прямоугольный.

4) Верно. Существует треугольник, в котором любая из высот меньше любой из медиан?

Если хотя бы один такой треугольник привести в пример, то ответ на вопрос – да, существует. Приведу пример такого треугольника. Рассмотрим треугольник на приложенном изображении. Один из углов у него – тупой, причём, величина близка к 180°. Длины сторон – достаточно большие. Вот в таком треугольнике любая высота короче любой медианы. В приложении «Живая геометрия» измерены длины высот и медиан. Так что существование такого треугольника очевидно. Над геометрическим доказательством этого факта  подумаю на досуге)))