В равнобедренном треугольнике АВС (АВ =
АС) провели биссектрису BD. Оказалось,
что ВС = BD + AD. Найдите угол BАC.

 Отложим ВЕ=ВD. Тогда из дано (ВС=ВD+АD) имеем: ВС=ВЕ+СЕ. Проведем AF перпендикулярно ВD. ВD - биссектриса и высота в треугольнике ABF, значит АВ=ВF и АD=DF (так как треугольники ВАD и ВFD равны по двум сторонам и углу между ними). Итак, нужно найти условие, при котором отрезок СЕ будет равен отрезку DF. Только в этом случае СЕ = DA и условие задачи будет выполнено. Рассмотрим треугольник СDЕ. СЕ=DE, только если <DСЕ=<СDЕ=α. Тогда <DEF=2α (как внешний угол треугольника СDЕ). Но <DEF(DEB)=<ЕDВ (по построению) =2α. В треугольнике ЕDВ сумма трех углов равна 180° = 2α + 2α + α/2 = 4,5*α. Отсюда α = 180°/4,5 = 40°. Следовательно, <А треугольника АВС равен 180°-2*40°= 100°. Ответ: <ВАС = 100°.