Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 4, а отношение катетов треугольника равно 4/3.

есть 2 случая и 2 решения.

Ясно, что речь идет о вписаной в треугольник окружности, поскольку она касается трех сторон треугольника. Заданый перпендикуляр можно провести так, чтобы он пересекал малый катет треугольника, или - чтобы большой. Отсюда и 2 решения. Разве что они совпадут:)) но в данном случае это не так.

Пусть х - некое измерение длины, так что а = 3*х; b = 4*x; c = 5*x; (как всегда, корень из суммы квадратов :)))

тогда радиус вписаной окружности r = (a + b - c)/2 = x; (эта формула, если её не знаешь, легко доказывается, если рассмотреть стороны как суммы отрезков от вершин до точек касания) Ясно, что точка касания делит гипотенузу на отрезки 2*r и 3*r.

1. Пусть заданный перпендикуляр к гипотенузе (длины к = 4) пересекает катет а = 3*r. Точка касания отстоит от вершины этого катета (общей с гипотенузой) на 2*r.

А основание перпендикуляра ближе к этой вершине на r, то есть отстоит от неё на r (между диаметром окружности и касательной, параллельной этому диаметру, расстояние равно радиусу). При этом отсеченный треугольник подобен исходному, и кусок гипотенузы играет в нем роль малого катета, то есть

к/r = 4/3, r = 3*k/4 = 3; Это один из возможных ответов.

2. Если заданный перпендикуляр пересекает катет b = 4*r, то тогда его основание отстоит от вершины этого катета (общей с гипотенузой) на 2*r (ну, точка касания отстоит на 3*r, а основание перпендикуляра на r меньше).

2*r/k = 4/3; r = 2*k/3 = 8/3; Это второй возможный ответ. 

Итак, радиус либо 3, либо 8/3, в зависимоти от  того, какой катет (меньший или больший) пересекает заданная прямая.