Одно натуральное  число поделили с остатком на другое. Делимое оканчивается на 7, а остаток — на 6. На какие цифры оканчиваются делитель и частное (перечислите все возможности).

Обозначим: n - делимое, m - делитель, k - частное, r - остаток.

Из условий задачи получаем, что n = n1n2n3...7, r = r1r2r3...6, где ni и ri - i-я цифра чисел n и r соответственно.

n = k*m + r, где r < m  => n1n2n3...7 = k1k2k3...x*m1m2m3...y + r1r2r3...6 (*), где x - искомая цифра, на которую заканчивается частное, а y - искомая цифра, на которую заканчивается делитель.

Из (*) следует, что произведение k1k2k3...x*m1m2m3...y должно заканчиваться на 1. Окончание этого произведения определяется произведением его последних цифр, т.е. x*y

Рассмотрим все возможные значения x и найдем для них соответствующие значения y, при которых произведение x*y заканчивается на 1.

Рассмотрим таблицу, и отметим знаком - отсутствие подходящего нам y:

x     y      x*y

0     -      -

1     1     1

2     -      -

3     7     21

4     -      -

5     -      -

6     -      -

7     3     21

8     -     -

9     9     81

Мы нашли все возможные комбинации x и y, где x - искомая цифра, на которую заканчивается частное, а y - искомая цифра, на которую заканчивается делитель.

Приведем примеры для некоторых возможных комбинаций, удовлетворяющих условиям задачи и условиям нашей таблицы:

1. 247 = 11*21 + 16

2. 237 = 13*17 + 16

3. 237 = 17*13 + 16

4. 377 = 19*19 + 16

Ответ: Делитель и частное могут заканчиваться на 1 и 1, 7 и 3, 3 и 7, 9 и 9 соответственно.