В наборе четыре гири весом 1, 2, 3 и 4 кг соответственно. Известно, что ровно одна из них фальшивая, но неизвестно, она легче или тяжелее настоящей. Можно ли за два взвешивания на чашечных весах найти фальшивую гирю и определить, легче ли она или тяжелее?

Рассмотрим два проследовательных взвешивания:  сначала сравним 2 гири 1 кг и 3 кг с одной 4 кг гирей, а затем - 2 гири 1 кг и 2 кг с одной 3 кг гирей.

Результаты представлены в следующей таблице:

==================================================

1       2       3       4       1+3 * 4       1+2 * 3       Вывод

==================================================

0,5    2       3       4       <                <               1, легче

1       1,5    3       4       =                <               2, легче

1       2       2,5    4       <                >               3, легче

1       2       3       3,5    >                =               4, легче

1,5    2       3       4       >                >               1, тяжелее

1       2,5    3       4       =                >               2, тяжелее

1       2       3,5    4       >                <               3, тяжелее

1       2       3       4,5    <                =               4, тяжелее

==================================================

где x + y * z означает операцию взвешивания (x и y на левой чаше весов, - z на правой). Если вес левой чаши оказывается меньше, чем вес правой, то мы обозначаем это как < в колонках 5 и 6; если больше - как >; если равен - как =.

Для определенности мы считаем, что вес фальшивой гири ровно на r = 0,5 кг легче или тяжелее, чем настоящей. Истинный вес указан в заголовке таблицы (верхняя строка, столбцы 1 - 4). Так для гири с точным весом в 1 кг запись 1,5 кг означает, что она фальшивая и тяжелее, чем настоящая 1 кг гиря. Для гири с точным весом в 3 кг запись 2,5 кг означает, что она фальшивая и легче, чем настоящая 3 кг гиря. И так далее. 8 нижних строк (колонки 1 - 4) таблицы дают все возможные комбинации, когда одна из 1 кг, 2 кг, 3 кг и 4 кг гирь - фальшивая, легче или тяжелее, чем настоящая. Выбранное значение r не влияет на результаты взвешиваний и выводы, которые мы делаем.

Результаты 2-х последовательных взвешиваний указаны в колонках 5 и 6.

Отметим, что все указанные там комбинации знаков <, > и = являются уникальными, т.е. нет двух строк таблицы с одинаковой комбинацией. Это и позволяет нам найти фальшивую гирю, и указать легче она или тяжелее, чем должна быть. Это и сделано в колонке 7.

Ответ: за два взвешивания на чашечных весах можно найти фальшивую гирю а также определить, легче ли она или тяжелее, чем настоящая.