Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

Ответы 1

  • Пусть функция f(x)=x^2+2 определена на множестве E E\subseteq |R Пусть \delta=\frac{\epsilon}{2x_0+1} где x_0 \in E.Понятно, что для любого x на области \delta от x_0 (то есть: x \in (x_0-\delta,x_0+\delta)) выполняется |x+x_0|<|2x_0+ \frac{\delta}{2}| .Следовательно, для \delta<2, выполняется |x+x_0|<|2x_0+1|.|(x^2+2)-(x_0^2+2)|=|x^2-x_0^2|=|x-x_0|\cdot|x+x_0| < |x-x_0|\cdot|2x_0+1| \\ \delta= \frac{\epsilon}{x_0+1} \ \ \ => \ \ \ |x^2-x_0^2|< |x-x_0|\cdot|2x_0+1|<\delta|2x_0+1|=\epsilonПолучили, что для любого \epsilon > 0 есть \delta=\frac{\epsilon}{x_0+1}<1, на области которой выполняется |f(x)-f(x_0)|<\epsilon(Проще говоря: \forall \epsilon>0 \ \ \exists\delta>0 \ \ : \ \ |x-x_0|<\delta \ \ \bigwedge \ \ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon). Следовательно - \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) .Что и требовалось доказать.Для x_0=-1 нужно отдельно доказать предел \lim_{x \to -1} f(x)=f(-1).Теперь в чём проблема самого вопроса: мы только что доказали непрерывность функции на любом подмножестве |R. Но! Множество натуральных чисел |N тоже подмножество |R, значит f:|N \longrightarrow |R тоже непрерывна, получается - доказали что f непрерывна на области определения? Известно, что g(x) \frac{1}{x} тоже непрерывна на области определения, но g, понятное дело, не определена на |R!Потому вопрос, ИМХО, поставлен не верно (претензия не к тебе, а скорее к преподавателям твоим). Правильно задать вопрос указывая то множесто точек, которое интересует: к примеру "непрерывна на |R" или, "непрерывна на отрезке (x_0-a,x_0+a)"...Тем более, что есть понятие "равномерная непрерывность" - свойство области, а не так, как "непрерывность" - свойство точки. Отсюда и непонимание.А то получается: спрашивают об области, а проверяют точку.Будут вопросы - пиши.P.S. Исправил ошибки в наборе символов. Текста много :)

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years