Диагональ прямоугольника раен 8 см,а одна из сторон---4корень3см.Найти острый угол между диагоналями прямоугольника

Диагональ прямоугольника раен 8 см,а одна из сторон---4корень3см.Найти острый угол между диагоналями прямоугольника

решение

4корень3см - я понял так - 4*(3^0,5)

примем

прямоугольник AMNC

где

диагонали прямоугольника AN=MC=8 см

диагонали треугольника пересекаются в точке В, которая является серединой диагоналей

тогда АВ=ВN=CB=BM=АN*1/2=8*1/2=4 см

Рассмотрим треугольник АВС:

АВ=ВС=4см, т.е. треугольник равнобедренный

АС=4*(3^0.5)

тогда

опустим высоту ВД на основание АС (по теореме о свойстве медианы равнобедренного треугольника, она является биссектрисой и высотой)

получили два прямоугольных треугольника:

АВД и ВДС, где АВ и АС - гипотенузы, а АД=ДС=АС*1/2=4*(3^0.5)*1/2=2*(3^0.5)

тогда

cos(ВАД)=АД/АВ=2*(3^0.5)/4=(3^0.5)/2 ---> угол ВАД=30 град

по теореме о равнобедренном треугольнике - углы при основании равны следует, угол ВАД=углу ВСД=30 град

тогда

угол АВС=180-30-30=120 град

тогда

угол АВС=MBN=120 град

тогда

угол АВМ=NBC=(360-120-120)/2=120/2=60 град

Ответ: острый угол между диагоналями треугольника равен 60 град