С-6 ЕГЭ

Решить в натуральных числах уравнение n! +5n +13 =k^2

ЕРУНДУ НЕ ПИШИТЕ , УДАЛЯЮ СРАЗУ

Эта задача очень известная, и решается, как ни странно, перебором :))

Дело в том, что все квадраты целых чисел заканчиваются на 0,5,1,4,6,9. Это легко показать для первых 10 чисел (то есть цифр:)), а все последующие лекго представимы как 10*р+m, то есть последняя цифра квадрата равна последней цифре m^2. Отсюда следует, что если квадрат натурального числа разделить нацело на 5, то остаток может принимать значения только 0, 1 и 4. В самом деле, если число заканчивается на 0 и 5, то остаток 0, если на 1 или 6 - то 1, если на 4 или 9 - то 4.

Отсюда получается, что при n > 5 условие задачи не может быть удовлетворено, поскольку n! делится на 5, и остаток от деления левой части на 5 будет 3. 

Осталось перебрать все случаи от 1 до 4. Ну и находим единственное решение 

n = 2, k = 5.

С ответом согласен. Попробую попроще объяснить.

Возьмем  n!  последняя цифра этого числа    0  для всех n>=5

Возьмем  5n последняя цифра этого числа    0  или 5 , если  n четное или n нечетное

Соответственно.

Тогда последняя цифра левой части или 3  или 8

Но в правой части  k^2  - a все квадраты целых чисел заканчиваются на 0,5,1,4,6,9

Равенство не получается. Значит n<5.

 По условию n – натуральное число. Варианты. 1,2,3,4

Подставим в  исходное уравнение и найдем пару  (n,k)

При n=2  k=5

Остальные значения n не подходят, так как сумма в левой части,

 не является квадратом целого числа.

Ответ n=2  k=5