Найти градиент и производную функции в направлении вектора а , в точке А: z=(x^2y+2xy^2)^4,

Найти
градиент и производную функции в направлении вектора а , в точке А: z=(x^2y+2xy^2)^4, a={-4:-3}, A(-1:1)
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  dear6cx8
- 6 лет назад

Ответы 1

$f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R} \ \ \ f(x,y)=x^2y+2xy^2 \\ g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \ \ \ \ g(t)=t^4 \\ z:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R} \ \ \ z=g\circ f \\ \frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta x}=\frac{dg(f(x,y))}{dt}\cdot\frac{\vartheta f(x,y)}{\vartheta x} \\ \frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta x}=4(x^2y+2xy^2)^3\cdot (2xy+2y^2) \\ \frac{\vartheta z(-1,1)}{\vartheta x}=0 \ \ \ \ \ \ \ \ (2(-1)1+2(1)^2)=(-2+2)=0 \\$ $\frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta y}=4(x^2y+2xy^2)^3\cdot(x^2+4xy) \\ \frac{\vartheta z(-1,1)}{\vartheta y}=12 \ \ \ \ \ \ \ -4\cdot(-3)$ $abla z(-1,1)=(0,12)$ $\frac{\vartheta z}{\vartheta a}=\frac{dg(f(x,y))}{dt}\cdot\frac{\vartheta f(x,y)}{\vartheta a} =<abla z(x,y),\overrightarrow{a}> \\ \frac{\vartheta z(-1,1)}{\vartheta (-4,-3)}=<abla z(-1,1), (-4,-3)>=<(0,12),(-4,-3)>=-36$ P.S. Решил добавить пару замечаний:1). этап определения $z=g \circ f$ - не обязателен для решения. Я добавил его для наглядности получения частных производных. На мой взгляд - лучше прослеживается весь путь дифференциирования: сначала, по методу сложной функции одной переменной, из неё переходим в частную производную внутренней функции.2). равенство $\frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta \overrightarrow{a}}=<abla z(x,y),\overrightarrow{a}>$ доказывается отдельно. Если возникнут вопросы - пиши. Удачи!
- Автор:
  wilsond4f8
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

Найти градиент и производную функции в направлении вектора а , в точке А: z=(x^2y+2xy^2)^4, a={-4:-3}, A(-1:1)

Ответы 1

Топ пользователей

Найти
градиент и производную функции в направлении вектора а , в точке А: z=(x^2y+2xy^2)^4, a={-4:-3}, A(-1:1)