• Найти
    градиент и производную функции в направлении вектора а , в точке А: z=(x^2y+2xy^2)^4, a={-4:-3}, A(-1:1)





Ответы 1

  • f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R} \ \ \ f(x,y)=x^2y+2xy^2 \\
g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \ \ \ \ g(t)=t^4 \\
z:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R} \ \ \ z=g\circ f \\
\frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta x}=\frac{dg(f(x,y))}{dt}\cdot\frac{\vartheta f(x,y)}{\vartheta x} \\
\frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta x}=4(x^2y+2xy^2)^3\cdot (2xy+2y^2) \\
\frac{\vartheta z(-1,1)}{\vartheta x}=0 \ \ \ \ \ \ \ \ (2(-1)1+2(1)^2)=(-2+2)=0 \\\frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta y}=4(x^2y+2xy^2)^3\cdot(x^2+4xy) \\
\frac{\vartheta z(-1,1)}{\vartheta y}=12 \ \ \ \ \ \ \ -4\cdot(-3) abla z(-1,1)=(0,12)\frac{\vartheta z}{\vartheta a}=\frac{dg(f(x,y))}{dt}\cdot\frac{\vartheta f(x,y)}{\vartheta a} =<abla z(x,y),\overrightarrow{a}> \\
\frac{\vartheta z(-1,1)}{\vartheta (-4,-3)}=<abla z(-1,1), (-4,-3)>=<(0,12),(-4,-3)>=-36P.S. Решил добавить пару замечаний:1). этап определения z=g \circ f - не обязателен для решения. Я добавил его для наглядности получения частных производных. На мой взгляд - лучше прослеживается весь путь дифференциирования: сначала, по методу сложной функции одной переменной, из неё переходим в частную производную внутренней функции.2). равенство \frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta \overrightarrow{a}}=<abla z(x,y),\overrightarrow{a}> доказывается отдельно. Если возникнут вопросы - пиши. Удачи!
  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years