исследовать на экстремум функцию z=x^2+xy+y^2-6x-9y 

Найди частные производные по обоим переменным (отдельно).(в предыдущем ответе я написал как берётся частная производная)Приравняй обе к нулю - будет система линейных уравнений.Найди решение системы.Найди значение второго дифференциала в этих точках.Второй дифференциал запишется так:dZ = Zxx*dx*dx + 2Zxy*dx*dy + Zyy*dy*dyЭто надо рассмотреть как квадратичную форму от dx и dy.Если она положительно определена - значит строгий минимумЕсли отрицательно - максимумЕсли не определена - нет эктремумаЕсли полуопредела - надо исследовать дальше.Частные производные:Zx=2x+y-6=0Zy=x+2y-9=02x+y-6=0-2x-4y+18=0-3y+12=0 => y=4=>x=1Zxx=2Zxy=1Zyy=2(от х и у вообще не зависят. ну и ладно)Значит d2Z=2(dx)^2+dxdy+2(dy)^2 = (корень(2)dx+dy/(2*корень(2)))^2 + (2-1/8)*(dy)^2Значит положительно определена.