Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • в эллипсе [tex] \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1 [/tex] вписать прямоугольник со сторонами,параллельными осям эллипса,площадь которого наибольшая.

    помогите пожалуйста

Ответы 1

  • \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ,  пусть (x';y')   координаты вершины A , прямоугольника ABCD.  Если прямоугольник вписан в эллипс , то выполняется  условие  \frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=1\\ x'^2b^2+a^2y'^2=a^2b^2\\ y'^2=\frac{a^2b^2-x'^2b^2}{a^2}\\   Тогда площадь прямоугольника равна  S=2x'*2y'=4x'y'  это не производные     .  x'=x\\ y'=y\\\\ S=4xy\\ y^2=\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}\\\\ S=4*\sqrt{\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}}*x Теперь рассмотрим данную функцию очевидно что a>b>y>x>0  .   Найдем производную         S'=4*\sqrt{\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}}*x \\ S'=\frac{ (8x^2-4a^2) * \sqrt{a^2b^2-b^2x^2} }{ax^2-a^3}\\ S'=0\\ 8x^2=4a^2\\ x= \frac{a}{\sqrt{2}}\\ a^2b^2 \geq b^2x^2\\ a^2 \geq x^2 \\ a eq x\\  То есть  одна сторона прямоугольника равна 2*\frac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}*a\\   тогда другая \sqrt{2}b . То есть самая наибольшая площадь которую можно вписать в данный эллипс равен  S=2ab 

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years