шар радиусом r переплавлен в конус, боковая поверхность которого в 2 р больше площади его основания. Найдите высоту конуса.

Так как при переплавлении объем не меняется, то объем шара = объему конуса. 

Vшар = (4пи*r^3)/3

Vконус = (пи*h*R^2)/3 , где h - высота, R - радиус основания. 

Sбок = пи*R*l (l - длина образующей)

Soсн = пи*R^2 

l выразим через высоту и радиус основания. 

l^2 = R^2 + h^2

l = корень(R^2 + h^2)

Sбок = 2Soсн

пи*R*l = 2пи*R^2

вместо l подставим корень(R^2 + h^2)

корень(R^2 + h^2)*пи*R = 2пи*R^2

сократим пи и R

корень(R^2 + h^2) = 2R

возведем в квадрат:

R^2 + h^2 = 4R^2

3R^2 = h^2

R = h/корень3 подставим это в формулу Vконус = (пи*h*R^2)/3 и приравним ее к Vшар = (4пи*r^3)/3

(4пи*r^3)/3 = (пи*h*(h^2/3))/3

4пи*r^3 = пи*h^3/3

сократим пи и домножим на 3

12r^3 = h^3

h = (кубический корень12)*r

Ответ: (кубический корень12)*r