дан треугольник ABC, в котором AB=7, BC=9, и проведена прямая BD, которая делит треугольник на две части, площади которых относятся как 7:9. Докажите, что BD - биссектриса угла ABC

Высота у обоих тр-ков АВД и ВСД одинакова, поэтому   S АВД = 0.5АД·Н, а S ВСД = 0.5СД·Н и отношение площадей равно отношению оснований:

S АВД : S ВСД = АД:СД

или

7:9 = АД:СД .

Известно, что биссектриса некоторого угла тр-ка делит противоположную углу сторону на отрезки, пропорционалые прилежащим сторонам, т.е. должно быть верным отношение АВ:АД = ВС:СД или 7:9 = АД:СД.

Выше мы получили это отношение, рассматривая площади тр-ков АВД и ВСД. Следовательно, ВД - биссектриса угла В.