Найти площадь фигуры ограниченной линиями: y=3*x^3-x;y=2*x

y=3·x³-x   и   y=2x

Определим пределы интегрирования (точки пересечения графиков):

2х = 3·x³-x

3·x³-3х = 0

3х(х² - 1)= 0

х₁ = 0, х₂ = -1, х₃ = +1

На интервале от -1 до 0  3·x³-x > 2х

На интервале от 0 до +1 3·x³-x < 2х

1) Интегрируем в пределах от -1 до 0 следующее выражение

3·x³-x -2х = 3x³-3x = 3(x³-x)

3∫(x³-х)dx = 3(x⁴/4 - x²/2).

Подставим верхний и нижний пределы:

3/4 · 0⁴ - 3/2 ·0² - 3/4 (-1)⁴ + 3/2 (-1)² = 3/2 - 3/4 = 3/4 = 0,75

2) Интегрируем в пределах от 0 до +1 следующее выражение

2х - (3·x³-x) = -3x³+3x = 3(-x³+x)

3∫(-x³+x)dx = 3(-x⁴/4 + x²/2).

Подставим верхний и нижний пределы:

3(-1⁴/4 + 1²/2) - 3(-0⁴/4 + 0²/2)= -3/4 + 3/2 = 3/4 = 0,75

Сложим результаты интегрирования 1) и 2)

S = 0.75 +0.75 = 1.5