в треугольнике АВС АВ=7 ВС=8 АС=9, Окружность проходит через точки А и С , пересекает прямые ВА и ВС, соотвественно в точках К и L , отличных от вершин треугольника АВС. Отрезок KL касается окружности вписанной в треуголник АВС . Найдите длину KL

Обозначим О центр вписанной в треугольник окружности. Обозначим точки касания вписанной окружностью М - со стороной АВ, Р - со стороной ВС, и - точно так - же точку касания с KL обозначим N. 

Из-за того, что АСKL - вписанный четырехугольник, угол KLC + угол ВАС = 180 градусов, но угол BLK + угол KLC = 180 градусов, поэтому угол BLK = угол ВАС. Поэтому треугольник ВКL подобен АВС. 

Обозначим BM = BP = x; АМ = АК = y; CK = CP = z - отрезки, на которые делят стороны точки касания вписанной окружности.

x + y = 7;

y + z = 9;

x + z = 8; вычитаем это из второй суммы

y - x = 1; вычитаем это из первой суммы

2*x = 6; нам понадобится именно эта величина, остальное считать не будем. Периметр треугольника BKL равен 2*x = 6; поскольку KM = KN и NL = LP, поэтому BK + KL + BL = BK + KN + NL + BL = MB + BP = 2*x

Из того, что BKL подобен АВС, следует, что BL = KL*7/9; BK = KL*8/9, периметр равен KL*24/9; Поэтому 

KL*24/9 = 6; KL = 9/4;