y''=y'+x найти общее решение диф.ур-ия,допускающего понижение порядка

Сделаем замену y'=z(x), получим уравнение z'=z+x.

Выполним еще одну замену: z(x)=u(x)*v(x), вычислим

+

(du/dx)*v+u(dv/dx-v)=x (1) - таким стало уравнение после соответствующих подстановок.

 Теперь выбираем функцию v(x), так чтобы v'-v=0, чтобы обнулить слагаемое 

u(dv/dx-v) в уравнении (1). Решив это уравнение, оно элементарное с разделяющимися переменными, получим  Подставляем вычисленное v(x) в уравнение (1) и получаем: 

, решаем его методом разделения переменных и получаем 

u(x)= +C, где C-константа.

Возвращаемся к выражению z(x)=u(x)v(x)=*( +C )=-x-1+C*e^x.

Т.е.

y'(x)=-x-1+C* . 

Решаем это уравнение  получаем dy=( -x-1+C* )dx 

Получаем y(x)= +C1, где С и С1 это константы которые находятся из начальных условий.

Ответ:  y(x)= +C1, где С и С1- const