Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Из круглого листа вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости

Ответы 1

  • Пусть x - длина дуги, ограничивающей искомый сектор, вырезаемый из круглого листа.

    Пусть l - радиус круглого листа и одновременно образующая конуса (воронки). 

    Тогда радианная мера дуги \alpha, ограничивающей искомый сектор равна:

            \alpha=\frac{x}{l} ---------(1)

     Нам необходимо найти при каком x объем воронки (правильного конуса)

    будет наибольшим. Запишем формулу объема V конуса:

          V=\frac{\pi*R^{2}*h}{3} --------(2)

    где R - радиус основания конуса; h - высота конуса 

    Поскольку длина окружности основания конуса равна x, то отсюда

                 R=\frac{x}{2\pi}--------(3)

    Высоту конуса найдем с помощью теоремы Пифагора:

              h=\sqrt{l^{2}-R^{2}}-------(4)

    Подставим в (4) вместо R выражение (3):

     

             h=\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}--------(5)

     

    Подставим в (2) вместо R и h соотвественно выражения (3) и (5), получим:

          V=A*x^{2}\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}--------(6)

       где A=\frac{1}{12\pi} 

      Очевидно, что естественной областью определения объема как функции от x есть интервал:

            0<x<2\pi*l ------(7)

     Продифференцируем (6) по x:

      V^{'}_{x}=A(2x\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}-\frac{x^{3}}{4{\pi}^{2}\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}}), отсюда

       V^{'}_{x}=\frac{Ax\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}(8{\pi}^{2}l^{2}-3x^{2})}{4{\pi}^{2}(l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2})} --------(8)

    Чтобы функция (6) имела на естественной области ее определения максимум или минимум, необходимо чтобы V^{'}_{x}=0--------(9)

    Тогда из (8) и (9) получим:

            8{\pi}^2-3x^{2}=0, отсюда с учетом, что x>0, найдем критическую точку:

           x_{o}=\pi*l*\sqrt{\frac{8}{3}}, или

            x_{o}=\frac{2{\pi}l\sqrt{6}}{3} 

      Поскольку естественной области определения (7)  принадлежит только одна критическая точка x_{o}  и поскольку на естественной области определения функция (6) принимает только положительные значения, то критическая точка x_{o} - точка максимума функции (6). Другими словами, при x_{o} объем воронки будет наибольшим.

    Теперь мы можем найти радианную меру искомого сектора, для чего подставим в (1) вместо x критическую точку x_{o}:

        \alpha=\frac{x_{o}}{l}=\frac{2{\pi}l\sqrt{6}}{3l}=\frac{2{\pi}\sqrt{6}}{3}

     

     

       

            

     

    • Автор:

      gretta
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years