исследовать на экстремум функцию y=x^3+3x^2-8

y = x³ + 3x² - 8

найдём производную

y' = 3x² + 6x

Приравняем производную нулю

3x² + 6x = 0

3х(х + 2) = 0

х₁ = 0

х₂ = -2

Исследуем знаки производной y' = 3x² + 6x.

Поскольку график производной - квадратичная парабола веточками вверх, то знаки её будут такими:

при х∈(-∞; -2] y' > 0 и функция у возрастает

при х∈[-2; 0]  y' < 0 и функция у убывает

при х∈(0; +∞] y' > 0 и функция у возрастает

В точке х₁ = 0 производная y' меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума.

уmin = y(0) = 0³ + 3·0² - 8 = -8

В точке х₂ = -2 производная y' меняет знак с + на -, следовательно, это точка максимума.

уmах = y(-2) = (-2)³ + 3·(-2)² - 8 = -8 + 12 - 8 = -4