Найдите сумму целых решений неравенства [tex]2^{3x+4}-10\cdot4^{x}+2^{x}\leq0[/tex]

Найдите сумму целых решений неравенства [tex]2^{3x+4}-10\cdot4^{x}+2^{x}\leq0[/tex]
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  beans
- 7 лет назад

Ответы 2

2⁴·2^(3x ) - 10·2^(2x) + 2^x ≤ 0

Делаем замену: 2^x = у ОДЗ: у>0

16у³ - 10у² + у ≤ 0

разложим на множители функцию

z = 16у³ - 10у² + у

y(16у² - 10² + 1)

16у² - 10² + 1 = 0

D = 100 - 64 = 36

√D = 6

y₁ =(10 - 6):32 = 4/32 = 1/8

y₁ =(10 + 6):32 = 16/32 = 1/2

Решаем неравенство z = у(у - 1/8)(у - 1/2) ≤ 0 методом интервалов с учётом того, что у≠0

z(-1) <0, z(1/16) > 0, z(3/16) < 0, z(1) >0

С учётом ОДЗ неравенство у(у - 1/8)(у - 1/2) ≤ 0 верно при у∈[1/8; 1/2]

Вспоминаем о замене 2^x = у и получаем

2^x = 1/8 ⇒ х = -3

2^x = 1/2 ⇒ х = -1

Неравенство верно при х∈[-3; -1]

Целые решения этого неравенства: -3, -2, -1. Их сумма -6

Ответ: -6

с
- Автор:
  tyronetora
- 7 лет назад
- 0
$2^{3x+4}-10*4^x+2x\leq0$ $2^{3x}*2^4-10*4^x+2^x\leq0|:4^x\ (4^xeq0)$ $16*\frac{2^{3x}}{4^x}-10*\frac{4^x}{4^x}+\frac{2^x}{4^x}\leq0$ $16*(\frac{2^3}{4})^x-10+(\frac{2}{4})^x\leq0$ $16*2^x-10+(\frac{1}{2})^x\leq0$ Пусть $2^x=t,\ t>0(*):$ $16t-10+\frac{1}{t}\leq0$ $\frac{16t^2-10t+1}{t}\leq0$ $teq0$ $16t^2-10t+1=0$ $D=(-10)^2-4*16=100-64=36;$ $t_1=\frac{10+\sqrt{36}}{32}=\frac{10+6}{32}=\frac{1}{2},$ $t_2=\frac{10-6}{32}=\frac{1}{8}$ $16t^2-10t+1=16(t-\frac{1}{2})(t-\frac{1}{8})=0$ $\frac{16(t-\frac{1}{2})(t-\frac{1}{8})}{t}\leq0$ Пользуясь методом интервалов, получаем: $t<0$ (не удоволетворяет условию (*)) и $\frac{1}{8}\leq t\leq\frac{1}{2}$ (удов. усл. (*)) $\frac{1}{8}\leq 2^x\leq\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2^3}\leq 2^x\leq\frac{1}{2^1}$ $2^{-3}\leq 2^x\leq2^{-1}$ $-3\leq x\leq-1$ $x=-2$ $-3\leq-2\leq-1$ Итак, целые решения неравенства: $-3,\ -2,\ -1.$ Их сумма: $-3+(-2)+(-1)=-6$ Ответ: сумма целых решений неравенства равна -6.
- Автор:
  kamarirowland
- 7 лет назад
- 0
Добавить свой ответ