Существует ли трехзначное число, равное произведению его цифр?

Нет.Возьмем максимальное трёхзначное число 999. Произведение равно 726. Нет. Пусть 100a + 10b + c = a*b*c, но b*c < 100, то есть a*b*c < 100a, то есть 100a + 10b + c < 100a и 10b + c < 0, что недопустимо.