Найти линии уровня поверхности z=1/(x^2+y^2). Найти градиент в точке М(1; 0). Показать, что он перпендикулярен соответствующей линии уровня.

через точку  М(1; 0) проходит линия уровня вида z0=1/(x^2+y^2)при подстановке х=1 у=0 получаем z0=1/(1^2+0^2)=1через точку  М(1; 0) проходит линия уровня 1=1/(x^2+y^2) или x^2+y^2 =1 - окружность с центром в начале координат и радиусом 1найдем уравнение касательной в точкедифференциал 2xdx+2ydy =0при подстановке х=1 у=0 получаем2*1*dx+2*0*dy =0dx = 0х = const = 1 - уравнение касательнойединичный вектор касательной имеет вид A = (0,1)найдем градиентdz/dx = d/dx(1/(x^2+y^2)) =-1/(x^2+y^2)^2 d/dx(x^2+y^2) = -2x/(x^2+y^2)^2  dz/dу = d/dу(1/(x^2+y^2)) =-1/(x^2+y^2)^2 d/dу(x^2+y^2) = -2у/(x^2+y^2)^2  при подстановке х=1 у=0 получаемgrad(z) = G = (-2;0)скалярное произведение векторов А и GAG = 0*(-2)+1*0=0 - значит вектор касательной к линии уровня в точке  М(1; 0) ( а значит и сама линия уровня, проходящая через точку   М(1; 0)) перпендикулярен к вектору градиента  в точке  М(1; 0)