В 6 в классе обучаются 20 учеников. В первой четверти они по трое дежурили по классу. Могло ли так получиться, что в некоторый момент каждый из учеников отдежурил с каждым ровно по одному разу?

То есть необходимое и достаточное условие чтобы это произошло,это чтобы число учеников было нечетным

 Положим что такое возможно,тогда  необходимо чтобы  каждый  отдежурил  с каждым  ровно 1 раз,тогдарассмотрим 1  учащегося.У  него  осталось 19   пар  учеников,причем  он  обязан  дежурит  только в 3.  Первый  раз он отдежурил  с 2,потом  с другими  двумя и  тд.(тк по  предположению они должно дежурить вместе лишь единожды)  каждый    раз число его возможных пар  будет уменьшаться на 2. После   9  заходов   своего дежурства   он отдежурить с 18 учениками,и   останется ровно 1,но поскольку он          обязан  дежурить в тройке,то кроме  этого   последнего к нему   в любом случае присоединится   один из людей с которым он   уже дежурил.  Но тогда с ним он отдежурит   два раза.  Тогда мы пришли к противоречию,такое   невозможно.