Найдите наименьший корень уравнения [tex]sin \frac{ \pi *x}{4} + cos \frac{ \pi - №6900188

Найдите наименьший корень уравнения [tex]sin \frac{ \pi *x}{4} + cos \frac{ \pi *x}{4}=U[/tex] принадлежащий отрезку U ≤ x ≤ 8.
Пожалуйста с объяснением, если можно. Спасибо
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  cristianwells
- 6 лет назад

Ответы 1

Вообще, уравнение проще решить графическим способом, но для анализа функции её хорошо бы продифференцировать.Поскольку задача указана для средней школы, то решим задачу в лоб, что длиннее.Для начала нужно выкинуть cos из уравнения, чтобы можно было заменой уйти от тригонометрических функций. $sin \frac{ \pi x}{4} + cos \frac{ \pi x}{4} = sin \frac{ \pi x}{4} +\sqrt{1-sin^{2}\frac{ \pi x}{4} } =$ /Замена $y=sin \frac{ \pi x}{4}$ /= $y+ \sqrt{1-y^{2} } =U=>\sqrt{1-y^{2} } =1-y^{2} + U -1=>$ /Замена $z=\sqrt{1-y^{2} }$ /=> $z=z^{2} +U-1=>$ => $z^{2}-z +U-1=0 => D=b^{2} -4ac=1+4(U-1)=$ В случае, если $D \geq 0,$ то уравнение имеет решение.=> При $4U-3 \geq 0 => U \geq \frac{3}{4}$ ;То есть при $U <\frac{3}{4}$ , решений нет. $z_{1,2} = \frac{-b +/- \sqrt{D} }{2a} =\frac{-1 +/- \sqrt{4U-3} }{2}$ Поскольку z - это корень, то по определению корня это неотрицательное число => $z = \frac{\sqrt{4U-3} -1}{2}=\sqrt{1-y^{2}}$ => $\sqrt{4U-3} -1=2\sqrt{1-y^{2}}=>(\sqrt{4U-3} -1)^2=4(1-y^{2})$ => $4U-3-2\sqrt{4U-3} +1=4-4y^{2} => 4y^{2} = 6-4U +2 \sqrt{4U-3}$ => $y = \frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2}$ При этом должно выполняться неравенство $\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}} \geq 0$ , иначе корней нет. Пометим это выражение (1*) $y=sin \frac{ \pi x}{4}=\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2}[$ Решения есть, если $-1\leq \frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2} \leq 1$ => $\frac{ \pi x}{4}=(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+/pi k$ , где k принадлежит Z=> $x=\frac{4}{ \pi }( (-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+/pi k)$ => $x=\frac{4}{ \pi }(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+\frac{4}{ \pi } /pi k$ => $x=\frac{4}{ \pi }(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+4 \sqrt{/pi} k$ Поскольку мы ищем наименьший корень, то что числитель должен быть наименьшим при минимальном k либо максимальным при минимальном k, найденные числа необходимо сравнить => Найдём сначала наименьшее значениеВыражение $\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2}$ должно быть наименьшим=> Выражение $\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}$ должно быть наименьшим=> Выражение $6-4U +2 \sqrt{4U-3}$ должно быть наименьшим $6-4U +2 \sqrt{4U-3}=$ /Замена k=4U-3/ $=3-k^2 +2 k= -k^2+2k+3$ Это формула параболы с ветвями, направленными вниз с вершиной при k=1. При этом вспомним, что в выражении (1*) мы требуем, чтобы данное выражение было $\geq 0$ => Наименьших значений это выражение будет достигать в точках пересечения с 0=> $D/4=m^2-ac= 1+3=4=2^2 =>k_{1,2} = \frac{-m+/-D/4}{a}= \frac{1+/-2}{1}$ $k_{1} =-1; k_{2} =3; => 4U_{1}-3=-1 => U_{1}=1/2$ => $4U_{2}-3=3 => U_{2} = 3/2;$ Поскольку у нас ограничения для $U\geq\frac{3}{4}$ , то минимальное значение будет достигаться при U=3/2;Проверим это значение U ещё вот по этому ограничению : $\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}=\sqrt{2\sqrt{3}} > 0$ => $x=\frac{4}{ \pi }(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2})+4 \sqrt{/pi} k$ $x \geq \frac{3}{2}$ - это следует из условий задачи=> k=1 => $x=\frac{4}{ \pi }(-1) arcsin(\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2})+4 \sqrt{/pi}$ (11)Вообще, нужно ещё доказать, что минимальное значение арксинуса в сумме с слагаемым при k=1 меньше, чем максимальное значение арксинуса при k=0.Арксинус максимален в вершине параболы описывающей его числетель => U=1 => $x=\frac{4}{ \pi } arcsin(\frac{\sqrt{6-4 +2 \sqrt{4-3}}}{2})$ => $x=\frac{4}{ \pi } arcsin(\frac{\sqrt{4}}{2})$ => $x=\frac{4}{ \pi } arcsin(1) = \frac{4 \pi}{ 2\pi }=2$ Теперь определим, которое из чисел меньше. Вычтем из x (11) 2: $\frac{4}{ \pi }(-1) arcsin(\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2})+4 \sqrt{/pi} -2=$ = $x=\frac{4}{ \pi }(-1) arcsin(\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2})+4 \sqrt{/pi} -2$ /Для упрощения оценки допустим, что арксинус достигает своего максимального значения = $\frac{ \pi }{2}$ , /= $x=\frac{4 \pi}{ 2\pi }(-1) +4 \sqrt{/pi} -2=4 \sqrt{/pi}-4>0$ Следовательно x=2 - это минимальный корень из всех возможных.Ответ: x=2Просто кошмар, это решение стоит намного больше, чем 5 баллов.Прилагаю график, на котором изображена функция tex]sin \frac{ \pi x}{4} + cos \frac{ \pi x}{4}[/tex], а также y=x, которая служит ограничением по условиям задачи
- Автор:
  michaelamarquez
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years