• Найдите нули первообразной функции f:[pi;2pi]->R, f(x)=cos(x)-sin(x), если известно, что F(3pi/2)=-2.

Ответы 1

  • Найдем интеграл от f(x)

    Получаем:

    F(x)=\int{f(x)}\, dx \\ F(x)=\int{(cos(x)-sin(x)})\,dx=\int{cos(x)}\,dx - \int {sin(x)}\,dx= \\ =sin(x)+cos(x)+C, \\C=const

    Надо найти C.

    Известно что F(\frac{3\pi}{2})=-2

    Подставим в найденное F(x), получим:

    sin(\frac{3\pi}{2})+cos(\frac{3\pi}{2})+C=-2 \\ -1+0+C=-2 \\ C=-2+1 \\ C=-1

     Получили, что F(x)=sin(x)+cos(x)-1 

    Дальше надо решить уравнение:

    sin(x)+cos(x)-1=0 \\ sin(x)=\sqrt{1-cos^2(x)} \\ \sqrt{1-cos^2(x)}=1-cos(x) \\ 1-cos^2(x)=1-2cos(x)+cos^2(x)\\ 2cos^2(x)-2cos(x)=0\\ 2cos(x)(cos(x)-1)=0\\ 1) \ cos(x)=0 \\ x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k \in Z\\ 2)\ cos(x)-1=0\\ cos(x)=1\\ x_2=2\pi n, n \in Z

    Итак получили 2 решения, теперь обратим внимание на условие: f: [\pi;2\pi] \to R, что под ним подразумевалось изначально, я не уверен, может быть этим условием хотели сказать что нас интересуют только действительные корни уравнения и мы не рассматриваем пространство комплексных корней, но скорее всего здесь это было сделано для того чтобы ограничить область в которой лежат нули первообразной, областью следующего вида: x \in [\pi; 2\pi]. Будем полагать что это так, тогда нули первообразной x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi k \\ x_2=2\pi n , \\k,n \in Z лежат на данном отрезке при n=1, и первый корень вообще не будет лежать на отрезке при любых значениях k

    таким образом получается, что:

    x=2\pi единственный ноль первообразной.

    Подводя итог получаем

    Нулями производной будут: x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k \in Z \\ x_2=2\pi n, n \in Z  

    Однако условию  f: [\pi;2\pi] \to R удовлетворяет только  x=2\pi

    Ответ: x=2\pi  

     

     

  • Добавить свой ответ

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years