четырехугольник АВСD вписан в окружность .на
продолжении диагонали BD за точку D выбрана точка F такая
что AFYBC. Докажите что окружность описания около
треугольника ADF касается прямой AC

Если окружность касается прямой в точке А (а по условию задачи касание может быть только в этой точке, так как окружность описана вокруг треугольника ADF и касается прямой АС), то угол САD -вписанный и его градусная мера равна половине градусной меры дуги AD. Вписанный угол DFA опирается на ту же дугу, то есть угол САD должен быть равен углу DFA, что и требуется доказать...Прямая ВС параллельна AF, поэтому <AFB=<CBF как внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AF и секущей BF. А <CAD=<CBD (CBF) как вписанные, опирающиеся на одну дугу CD. Следовательно, <CAD=<ABF (или <DFA, что одно и то же).Итак, <CAD=<DFA, что и требовалось доказать.Значит окружность, описанная вокруг треугольника ADF, касается прямой АС.Решение в приложенном рисунке.