Докажите, что квадратное уравнение (где"- квадрат, т.е. ах в квадрате) ах"+bx-c=0 имеет ровно один корень на промежутке [0;1], если а, b и с - это длины сторон треугольника.

Если а,б и с - стороны треугольника, то это положительные числа. График квадратного уравнения  - парабола, ветками вверх (в даном случае), с - число на оси у, которое показывает точку, где парабола пересекает эту ось, т.е. координаты этой точки (0;с). В даном случае, с  больше 0. В общем, парабола поднята над осью х, и касается оси х в 1 точке, т.е. это и есть 1 корень

а, b и с - это длины сторон треугольника., значит выполняются неравенства:

a+b>c>0, a+c>b>0, b+c>a>0

a^2+2ac+c^2>b^2

ах^2+bx-c=0

D=b^2+4ac

x1=(-b+корень(b^2+4ac))/(2a)>=(-b+b)/(2a)=0

нужно еще доказать что x1<=1

т.е. (-b+корень(b^2+4ac))/(2a)<=1

-b+корень(b^2+4ac)<=2a

корень(b^2+4ac))<=2a+b

(обе части неотрицательны, поднесем к квадрату, получим равносильное неравенство)

b^2+4ac<=4a^2+4ab+b^2

4ac<=4a^2+4ab

ac-ab<=a^2

c-b<=a

c<=a+b (что верно как неравенство треугольника)

далее теперь осталось доказать что второй корень не попадает в промежуток [0;1]

докажем что x2<0

x2=(-b-корень(b^2+4ac))/(2a)<0 , что очевидно так в знаменателе неотрицательное число 2а, а в числителе отрицательное.

Доказано