1. Докажите, что среди любых 16 целых чисел всегда можно выбрать 2, разность которых делится на 15.

2. В магазине продаются конфеты 21 вида стоимостью 100, 110, 120,…,300 рублей за килограмм. Среди них 10 видов карамельных, 10 - шоколадных и 1 - желейные. Если купить по килограмму всех шоколадных конфет, то это выйдет на 110 рублей дороже, чем если купить по килограмму всех карамелек. Сколько стоят желейные конфеты?

3. Докажите тождество: 13 + 23 +...+ n3 = (1 + 2 +...+ n)2.
4. Доказать, что при любом n>1 число оканчивается на 7.

5. На столе лежат 50 монет. К столу по очереди подходят 47 человек, каждый либо кладёт, либо забирает одну монету. Может ли после этого на столе оказаться 20 монет?

6. На доске записаны два числа. Каждый день в полдень Гена стирает числа с доски и вместо них записывает и , где a и b – стёртые числа. Найдите произведение чисел на доске вечером сотого дня, если изначально были написаны 3 и 7.

7. Из листа клетчатой бумаги размером 14×29 вырезали по линиям 49 квадратиков 2×2. Всегда ли можно будет вырезать ещё один квадратик 2×2?