Из вер­ши­ны пря­мо­го угла C тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на вы­со­та CP. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ACP, равен 12 см, тан­генс угла ABC равен 2,4 . Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Треугольники АВС и АСР подобны по свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенному из прямого угла.

<B = <ACP (так как треугольники АВС и АСР подобны).  =>  

tg(<АСР) = 2,4.  =>   АР = 2,4*РС.  

По Пифагору АС=√(АР²+РС²) = √(2,4²РС²+РС²).

АС = √(6,76*РС²) = 2,6*РС. Sapc = (1/2)*AP*PC = 1,2*РС².

Радиус вписанной в треугольник АРС окружности равен r = S/p (формула), где р - полупериметр треугольника АРС.

р = (РС+2,4РС+2,6РС)/2 = 3*РС.  Тогда 12 = 1,2*РС/3  => PC = 30см.

Итак, РС = 30см, АР = 2,4*30= 72см и АС = 2,6*30= 78см.

В треугольнике АВС tgB = АС/ВС= 2,4   => BC = 78/2,4 = 32,5 см.  Тогда

Sabc = (1/2)*AC*BC = (1/2)*78*32,5 = 1267,5 см².

СР = АС*ВС/АВ (свойство высоты из прямого угла треугольника)  =>

АВ = АС*ВС/СР = 78*32,5/30 = 84,5 см.

Полупериметр треугольника АВС:  р= (78+32,5+84,5)/2 =97,5 см. Тогда радиус вписанной в треугольник АВС окружности равен

r = 1267,5/97,5 = 13 см.  Это ответ.