Найти все трехзначные натуральные числа,которые уменьшаются ровно в 7 раз при вычеркивании средней цифры.

Представим трехзначное число в виде

100а+ 10b + с.

При вычеркивании средней цифры имеем следующее:

10а + с

Причем по условию:

100а+10b+c=7*(10a+c)

Приведем это Диофантово уравнение к более удобному виду:

100a+10b+c=70a+7c

30a+10b=6c

15a+5b=3c

разделим обе части на 15

а+b/3=c/5

Следовательно, т.к. 3 и 5 - взаимно простые,

- b должно быть кратно 3

- с должно быть кратно 5

- а равно с/5 - b/3

(заметим, что 0 - кратное любой цифре. НО - а не равно нулю, т.к. в этом случае имеем двузначное число. Следовательно, с тоже не может быть нулем, иначе а обращается в 0)

Итак:

с = 5 - без вариантов;

b= 0; 3; 6 или 9

а - вычислим:

с=5 b=0 => a= 5/5 - 0/3 = 1

c=5 b=3 => a= 5/5 - 3/3 = 0 - не подходит, потому что ане может быть равным нулю ( получаем двузначное число)

При b=6, b=9  => a= -1 и а= -2, что невозможно по условиям задачи.

Отсюда - один вариант ответа:

a= 1 b=0 с=5

То есть, ОТВЕТ - 105. Других чисел нет.

(проверка: 105/7 = 15 - что и требовалось в условии)