в какой день года в северном полушарии тень от предметов самая короткая

Естественно 22 июня в северном полушарии и 22 декабря в южном, этот день летнего солнцестояния. А на экваторе 21 марта и 21 сентября. В день равноденствия.

Есть одно но, из-за влияния луны, прецессии земной оси, нутации, эти даты могут немного смещаться, Но в наши дни это практически так. + - день туда обратно.

Так для справки: лето в северном полушарии на несколько дней длинней, чем в южном. Это связано с эллиптической орбитой земли.