Относится ли районный отдел культуры к органам исполнительной власти?

Нет. Он относится к органам местного самоуправления. А они не относятся ни к какой ветви власти. При этом они обладают определенными властными полномочиями и воспринимаются гражданами как органы власти. Но органы самоуправления должны быть органами самоорганизации граждан для решения местных вопросов.