Может ли военнослужащий вне рабочего времени проверять документы у людей из соседней квартиры?

Нет, военнослужащий не может проверять документы вне рабочего времени. Более того никто не может. Например, если полицейский при исполнении, то может. Если же он не при исполнении, то не может. Так как в данные момент он считается обычным гражданином. Такая деятельность осуществляется только в рабочее время, и она никак не может осуществляться в личных интересах, на это должны быть законные основания, а не просто так проверять всех подряд. Это будет не компетентно, а также нелегально. Вывод: нет.