Какими частями речи в предложениях являются слоа "можно" и "надо"? 

1) НАДО доказать, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.

2) Следуя из этого, МОЖНО найти остальные углы параллелограмма.

Эту часть речи называют категорией состояния. Хотя о ней говорится не во всех учебниках русского языка, так что иногда ее считают наречием в роли сказуемого.